《实变函数》精品课程简介

发布时间:2018-05-05 14:12    阅读量:1

一、  课程发展的主要历史沿革

在十八世纪末、十九世纪初的时候,微积分学已基本上被发掘了,学者们开始建立它的各个分支,揭示了很多新的事实,发展了微积分在力学、天文学与技术科学方面的种种问题的日新月异的应用。但在这个时候也已经看出,分析基础本身并不是毫无问题的。

   还在十八世纪,那时的大数学家关于什么是函数就没有一致的见解,因此长期争论着问题的这样与那样的解答,逐渐才知道了分析的另一些基本概念也需要进一步精确。如果对什么是连续性及连续函数的性质是些什么,都没有足够清晰的理解,那就常常会引起一系列错误的论断。例如,认为连续函数总是可微的。由于数学中已经处理着这样复杂的函数,以至于仅仅依凭直观与猜测已经是不可能的了。因此,分析的基本概念的整理就成为燃眉之急了。

   数学分析主要研究定义在区间上的连续函数,连续函数的性质的研究,又迫使人们深入地去探究实数的本性,因此就出现了实数理论,而数轴的基本性质也得到了确切的表述。数学分析的进一步发展,促使人们必须去研究愈来愈多的“坏”函数,特别是间断的函数。黎曼研究了这样一个问题,即积分的概念可能推广到怎样的间断函数上去。由于所有这些奠定分析基础的活动,使一个新的数学分支——实变函数论出现了。

如果古典数学分析是基于处理一些“好”的函数(例如连续函数和可微函数),那么实变函数论主要是处理更为广泛的函数类。

二、  教学内容

(1)教学内容:实变函数的考察对象将连续函数扩大到定义在可测集上的可测函数类;并使微积分在更宽松的环境中加以运用。因此,实变函数的主体内容是可测集、可测函数和勒贝格积分。

关于可测集部分,主要讨论以下内容:第一,可测集的概念。目的是让学生明白,如何将长度、面积、体积等概念推广到更为一般的“测度”;第二,可测集的运算性质。通过讲解,学生能够概括总结为可测集经过交、并、差、余运算后仍是可测集;第三,讨论几类具体的可测集,并研究Borel集与可测集的关系,从而得到可测集的两个构造。

关于可测函数部分,首先正确理解可测函数的概念,明白可测函数是比连续函数类更广的一类函数;其次是可测函数的性质;最后讨论三种收敛:几乎处处收敛、基本上一致收敛、依测度收敛的关系。

关于勒贝格积分部分,主要讲解以下五部分内容:第一,勒贝格积分理论。第二,勒贝格积分的性质。第三,黎曼积分与勒贝格积分的关系。第四,积分和极限交换顺序的问题。第五,勒贝格积分的N-L公式成立的条件。

讲解实变函数中应注意两方面的问题:第一,该课程是近代数学的基础,内容仍以实分析的基本知识作为出发点,同时注意与学科发展的适当配合;第二,虽是做积分的继续深化,但在思想方法上有着较大飞跃,适当加强这方面的训练有助于学生较好适应这一过渡。为此,我们要选择适当的例题与课程的基本内容有较为密切的配合,配备一定数量的习题,开阔学生思路。

(2)教学目的:我们正处于从注入式教育向素质教育转变的历史时期,众所周知,学习数学的关键在于理解数学,数学教育改革的根本任务在于如何从过去的传授学知识转向培养提出、分析和解决数学问题或实际问题的能力,要让学生掌握解决问题的钥匙,同时,使他们懂得该如何学习。基于这个原则,我们的教学力求直观、通俗易懂,尽可能让学生明白:为什么要引进某个概念,为什么要考虑某个问题,如何得到所要的结论。使多数学生能轻松、准确地把握本门课程中的重要概念和定理,并学有收获。

三、教学条件  

(1)根据我系这几年开设实变函数论课程的实际情况,该课程的起点建于n维欧空间情形上比较适当。如建在抽象测度上,学生觉得吃力,往往难于把握此门课程的本质;假如将起点建在直线上的Lebesgue测度上,又显得过于特殊。在这一点,我们选择教育部推荐教材:程其襄等编《实变函数与泛函分析基础》这本教材,比较适合我系。

(2)与365bet官网最新网址前期课程相比,实变函数论有一定的抽象性,对一些抽象概念需做必要的直观解释。为此配备了一定数量与内容相符的例题和思考题,给初学者准确把握本课程的理论知识带来较大帮助。

(3)实变函数有别于其它数学课程,版本不同,其风格、侧重点也不同。为此,我们紧紧抓住三种不同风格的版本教材,作为我们的参考书(复旦大学主编、南京大学主编、北京大学主编),使学生在较短时间内,掌握了对抽象测度和Lebesgue测度处理方法上的统一。

四、教学方法与教学手段

(1)本课程采用多种教学法,灵活运用课堂讲授、课堂讨论、教学参观、课下阅读和网上讨论等多种方式,改变了传统的教学方法、模式,强化了以学生为主体的主动学习,注重培养学生独立分析问题、解决问题的能力;在教学手段上,采用现代化教学手段,制作内容精当具体、表达明快生动、教学效果良好的powerpoint幻灯片,既丰富课程内容,提高教学质量,又起到了活跃课堂气氛,调动学生学习兴趣,拓展学生思维的良好作用。

课下阅读自学法旨在培养学生的学习能力

课程讲授法注重呼唤科学精神和专业精神,申说学术规范,强化学术史和学术动态的内容,开展课堂讨论及网上讨论,师生互动学习,以培养学生的研究能力。

(2)不断改革与完善实变函数教学内容:改革实变函数教学内容,在优化与重组教学内容时,注重新旧知识的平稳过渡,注意引进新知识和研究的前沿和热点问题,使得课程更加有利于学生的素质培养;现代化教学手段的使用,为培养学生的综合素质,培养学生的创新能力提供了坚实的基础。

五、教学效果

课程负责人在教学一线三十年,课堂教学效果好,山西省教学名师。近年来的学生课堂评价成绩均为优秀,有很好的声誉。课程负责人所带实变函数课程作为观摩课向全院教师公开授课,受到全院教师的认可。教学队伍主要成员在教学竞赛中获“教学能手”称号,教学效果也是得到学生一致赞扬的。形成一支以主讲教师负责的结构合理、人员稳定、教学水平高、教学效果好的教师梯队。